விகிதம், தனி/கூட்டு வட்டி, வேலை-காலம்

STUDY NOTES · APTITUDE & MENTAL ABILITY · UNIT I

விகிதம் & விகிதாச்சாரம், தனி & கூட்டு வட்டி, வேலை & காலம்

Ratio & Proportion, Simple & Compound Interest, Time & Work — Detailed Notes

TNPSC குரூப் 2 & 2A (CCSE-II) Prelims — Aptitude Unit I

TNPSC அளவிலான எண்கணிதப் பாடத்திட்டத்தின் அடிப்படையிலான குறிப்புகள்

1. விகிதம் & விகிதாச்சாரம்

Ratio & Proportion

விகிதம் — Ratio

இரண்டு அளவுகளை ஒப்பிடும் முறையே விகிதம்.

குறியீடு

a : b

உதாரணம்

4 : 6

இரண்டையும் 2-ஆல் வகுத்தால்:

4 : 6 = 2 : 3

முக்கிய விதி

விகிதத்தின் இரு உறுப்புகளையும் ஒரே எண்ணால் பெருக்கினாலும் அல்லது வகுத்தாலும் விகிதத்தின் மதிப்பு மாறாது.

2. விகிதாச்சாரம்

Proportion

இரண்டு விகிதங்கள் சமமாக இருப்பது விகிதாச்சாரம்.

வடிவம்

a : b = c : d

உதாரணம்

2 : 3 = 4 : 6

ஏனெனில்:

2/3 = 4/6

3. நான்காம் விகிதம்

Fourth Proportional

வடிவம்

a : b = c : d

இங்கு d என்பது நான்காம் விகிதம்.

உதாரணம்

2 : 3 = 4 : d

Cross multiplication:

2d = 3 × 4

2d = 12

d = 6

விடை:

6

Shortcut Formula

d = (b × c) / a

4. சராசரி விகிதம்

Mean Proportion

a : b = b : c எனில், b என்பது Mean Proportion.

சூத்திரம்

b = √(ac)

உதாரணம்

4 : b = b : 9

எனில்:

b² = 4 × 9

b² = 36

b = 6

விடை:

6

5. விகிதப்படி பங்கீடு

Division in a Given Ratio

ஒரு தொகையை குறிப்பிட்ட விகிதத்தில் பிரிக்க:

படி 1

விகித உறுப்புகளை கூட்ட வேண்டும்.

படி 2

மொத்தத் தொகையை மொத்த விகிதத்தால் வகுக்க வேண்டும்.

படி 3

ஒவ்வொரு விகித உறுப்புடனும் பெருக்க வேண்டும்.

உதாரணம்

ரூ.1200-ஐ A, B, C ஆகியோருக்கு:

2 : 3 : 5

விகிதத்தில் பிரிக்க வேண்டும்.

மொத்தப் பாகங்கள்

2 + 3 + 5 = 10

A-ன் பங்கு

1200 × 2/10 = ₹240

B-ன் பங்கு

1200 × 3/10 = ₹360

C-ன் பங்கு

1200 × 5/10 = ₹600

Final Answer

A = ₹240

B = ₹360

C = ₹600

6. Ratio — முக்கிய Shortcut

ஒரு தொகை:

a : b : c

என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கப்பட்டால்:

மொத்தப் பாகங்கள்

a + b + c

முதல் பங்கு

Total × a/(a+b+c)

இரண்டாவது பங்கு

Total × b/(a+b+c)

மூன்றாவது பங்கு

Total × c/(a+b+c)

7. தனி வட்டி

Simple Interest — SI

ஒரு முதலீட்டின் மூல அசல் தொகையின் அடிப்படையில் மட்டும் கணக்கிடப்படும் வட்டி தனி வட்டி.

முக்கிய குறியீடுகள்

8. Simple Interest Formula

SI = (P × R × T) / 100

மொத்தத் தொகை

A = P + SI

அதாவது:

மொத்தத் தொகை = அசல் + வட்டி

9. தனி வட்டி — உதாரணம்

கேள்வி

₹5,000-ஐ 4 ஆண்டுகளுக்கு 10% தனி வட்டி வீதத்தில் முதலீடு செய்தால், தனி வட்டி என்ன?

தீர்வு

SI = (P × R × T)/100

= (5000 × 10 × 4)/100

= ₹2,000

மொத்தத் தொகை

A = P + SI

= 5000 + 2000

A = ₹7,000

விடை

தனி வட்டி = ₹2,000

மொத்தத் தொகை = ₹7,000

10. SI Formula — மாற்றியமைக்கப்பட்ட சூத்திரங்கள்

அசல் தொகை

P = (SI × 100)/(R × T)

வட்டி வீதம்

R = (SI × 100)/(P × T)

காலம்

T = (SI × 100)/(P × R)

11. கூட்டு வட்டி

Compound Interest — CI

முந்தைய காலத்தின் மொத்தத் தொகை மீது மீண்டும் வட்டி கணக்கிடப்படுவது கூட்டு வட்டி.

முக்கிய சூத்திரம்

A = P(1 + R/100)ⁿ

இங்கு:

• P = அசல்
• R = வட்டி வீதம்
• n = ஆண்டுகளின் எண்ணிக்கை
• A = மொத்தத் தொகை

கூட்டு வட்டி

CI = A − P

12. கூட்டு வட்டி — உதாரணம்

கேள்வி

₹5,000-ஐ 2 ஆண்டுகளுக்கு 10% கூட்டு வட்டி வீதத்தில் முதலீடு செய்தால் கிடைக்கும் கூட்டு வட்டி என்ன?

தீர்வு

A = P(1 + R/100)ⁿ

A = 5000(1 + 10/100)²

= 5000 × 1.1 × 1.1

= ₹6,050

CI

CI = A − P

= 6050 − 5000

CI = ₹1,050

13. அரையாண்டு கூட்டு வட்டி

Half-Yearly Compounding

வட்டி ஆண்டுக்கு இரண்டு முறை கூட்டப்பட்டால்:

வட்டி வீதம்

R/2

கால அளவு

2n

ஆக மாற்ற வேண்டும்.

சூத்திரம்

A = P(1 + (R/2)/100)²ⁿ

முக்கிய Trick

Half-yearly → Rate ÷ 2

Time/Periods → × 2

14. தனி வட்டி Vs கூட்டு வட்டி

15. 2 ஆண்டுகளுக்கான CI − SI வித்தியாசம்

2 ஆண்டுகளுக்கு:

CI − SI = P × (R/100)²

உதாரணம்

P = ₹1000

R = 10%

எனில்:

CI − SI = 1000 × (10/100)²

= 1000 × 1/100

= ₹10

TNPSC Shortcut

2 years CI-SI → P(R/100)²

16. வேலை & காலம்

Time & Work

ஒரு நபர் ஒரு வேலையை N நாட்களில் முடித்தால்:

ஒரு நாளின் வேலை

1/N

உதாரணம்

ஒருவர் ஒரு வேலையை 10 நாட்களில் முடித்தால்:

ஒரு நாள் வேலை = 1/10

17. பலர் இணைந்து வேலை செய்தல்

பல நபர்கள் இணைந்து ஒரு வேலையைச் செய்யும்போது:

ஒவ்வொருவரின் ஒரு நாள் வேலைத் திறனை

கூட்ட வேண்டும்.

உதாரணம்

A ஒரு வேலையை 10 நாட்களில் முடிப்பார்.

அவரது ஒரு நாள் வேலை:

1/10

B அதே வேலையை 15 நாட்களில் முடிப்பார்.

அவரது ஒரு நாள் வேலை:

1/15

இருவரின் ஒரு நாள் வேலை:

1/10 + 1/15

= 3/30 + 2/30

= 5/30

= 1/6

எனவே இருவரும் சேர்ந்து:

6 நாட்களில்

வேலையை முடிப்பார்கள்.

18. இரண்டு நபர்கள் இணைந்து வேலை செய்யும் Shortcut

A தனியாக ஒரு வேலையை a நாட்களில் முடிப்பார்.

B தனியாக அதே வேலையை b நாட்களில் முடிப்பார்.

இருவரும் இணைந்து முடிக்கும் காலம்:

ab / (a + b)

உதாரணம்

A = 12 நாட்கள்

B = 18 நாட்கள்

இணைந்த காலம்

(12 × 18)/(12 + 18)

= 216/30

= 7.2 நாட்கள்

19. வேலை = திறன் × காலம்

வேலை, திறன் மற்றும் காலம் ஆகியவற்றிற்கு:

Work = Efficiency × Time

முக்கிய உறவு

ஒரே வேலையாக இருந்தால்:

Persons × Days = Constant

அதாவது:

நபர்கள் அதிகரித்தால் நாட்கள் குறையும்.

நபர்கள் குறைந்தால் நாட்கள் அதிகரிக்கும்.

20. Persons × Days — உதாரணம்

கேள்வி

10 பேர் ஒரு வேலையை 15 நாட்களில் முடிக்கிறார்கள்.

அதே வேலையை 6 நாட்களில் முடிக்க எத்தனை பேர் தேவை?

தீர்வு

Persons × Days = Constant

10 × 15 = x × 6

150 = 6x

x = 150/6

x = 25 பேர்

21. Work & Time — முக்கிய Shortcut

ஒரே வேலை:

M₁ × D₁ = M₂ × D₂

இங்கு:

• M = Number of Men/Persons
• D = Number of Days

உதாரணம்

6 பேர் × 12 நாட்கள் = x பேர் × 8 நாட்கள்

72 = 8x

x = 9

9 பேர்

22. குழாய் & தொட்டி

Pipes & Cisterns

Pipes & Cisterns என்பது Time & Work-ன் ஒரு நீட்சியாகும்.

இரண்டு வகை குழாய்கள்

1. Inlet Pipe

தண்ணீரை தொட்டிக்குள் நிரப்பும் குழாய்

→ Positive Work

2. Outlet Pipe

தண்ணீரை வெளியேற்றும் குழாய்

→ Negative Work

23. Inlet Pipe — ஒரு நாள் வேலை

ஒரு குழாய் ஒரு தொட்டியை N மணி நேரத்தில் நிரப்பினால்:

1/N

ஒரு மணி நேரத்தில் நிரப்பும் வேலை.

24. Outlet Pipe — ஒரு நாள் வேலை

ஒரு வெளியேற்றும் குழாய் ஒரு தொட்டியை N மணி நேரத்தில் காலி செய்தால்:

−1/N

ஒரு மணி நேர வேலை.

முக்கியம்

Inlet = +

Outlet = −

25. இரண்டு Inlet Pipes

ஒரு குழாய் 6 மணி நேரத்தில் நிரப்புகிறது.

மற்றொரு குழாய் 4 மணி நேரத்தில் நிரப்புகிறது.

இணைந்த வேலை:

1/6 + 1/4

= 2/12 + 3/12

= 5/12

நேரம்:

12/5 = 2.4 மணி

2.4 மணி நேரம்

26. Inlet + Outlet

ஒரு Inlet pipe:

6 மணி நேரம்

ஒரு Outlet pipe:

8 மணி நேரம்

நிகர வேலை

1/6 − 1/8

LCM = 24

= 4/24 − 3/24

= 1/24

எனவே தொட்டி:

24 மணி நேரத்தில் நிரம்பும்.

27. Pipes & Cisterns — Shortcut

நிரப்பும் குழாய்கள் மட்டும்

Rates add

1/a + 1/b

வெளியேற்றும் குழாய்கள் மட்டும்

Rates add as negative

−1/a − 1/b

Inlet + Outlet

Net Rate = Inlet Rate − Outlet Rate

28. Ratio — Chain Rule

கொடுக்கப்பட்டால்:

a : b = 3 : 4

b : c = 4 : 5

இங்கு b பொதுவாக உள்ளது.

எனவே:

a : c = 3 : 5

Shortcut

Chain ratio-வில் common term-ஐ ஒரே அளவில் வைத்தால் நேரடியாக outer terms-ஐ இணைக்கலாம்.

29. ஒரு தொகையை 3 : 5 விகிதத்தில் பிரித்தல்

மொத்த தொகை:

40

விகிதம்:

3 : 5

மொத்தப் பாகங்கள்

3 + 5 = 8

பெரிய பங்கு

40 × 5/8

= 5 × 5

= 25

சிறிய பங்கு

40 × 3/8

= 15

Final

15 : 25

30. முக்கிய Formula Sheet

Ratio

a : b

Proportion

a : b = c : d

Fourth Proportional

d = bc/a

Mean Proportion

b = √ac

Ratio Distribution

Share = Total × Individual Ratio / Total Ratio

Simple Interest

SI = PRT/100

Amount

A = P + SI

Principal

P = SI × 100 / RT

Rate

R = SI × 100 / PT

Time

T = SI × 100 / PR

Compound Interest

A = P(1 + R/100)ⁿ

Compound Interest

CI = A − P

Half-Yearly CI

A = P(1 + (R/2)/100)²ⁿ

2-Year CI − SI

CI − SI = P(R/100)²

Work

One day work = 1/N

Two Persons

Combined Time = ab/(a+b)

Work

Work = Efficiency × Time

Same Work

Persons × Days = Constant

Pipes

Inlet = +1/N

Outlet = −1/N

Net Pipe Rate

Inlet Rate − Outlet Rate

31. TNPSC முக்கியமான நினைவுக் குறிப்புகள்

Ratio

Ratio → இரண்டு அளவுகளை ஒப்பிடுதல்

Proportion → இரண்டு விகிதங்கள் சமம்

Fourth Proportional → a:b = c:d

Mean Proportion → √ac

Ratio Distribution → மொத்த விகிதப் பாகங்களை முதலில் கூட்ட வேண்டும்

Simple Interest

SI → அசல் தொகையை மட்டும் அடிப்படையாகக் கொண்டது

SI → Linear growth

SI = PRT/100

Compound Interest

CI → முந்தைய Amount-ஐ அடிப்படையாகக் கொண்டது

CI → Exponential growth

CI = A − P

A = P(1+R/100)ⁿ

Time & Work

N days → One day work = 1/N

More persons → Less days

Less persons → More days

Persons × Days = Constant

Pipes & Cisterns

Inlet → Positive

Outlet → Negative

Net Rate = Inlet − Outlet

32. Ratio vs Proportion — Quick Revision

33. SI vs CI — Quick Revision

34. Work & Time — Quick Revision

ஒருவர் N நாட்களில் வேலை முடித்தால் → 1/N வேலை/நாள்

A = a days, B = b days

Together = ab/(a+b)

Persons × Days = Constant

Work = Efficiency × Time

35. Pipes & Cisterns — Quick Revision

Inlet → நிரப்புதல் → +

Outlet → காலி செய்தல் → −

இரண்டு Inlet → Rates Add

Inlet + Outlet → Rates Subtract

Net Rate = 1/a − 1/b

36. முக்கியமான தேர்வு Shortcuts

Shortcut 1

2 : 3 = 4 : x

x = 6

Shortcut 2

Mean Proportion of 4 and 9

√(4×9) = 6

Shortcut 3

₹1200 in 2:3:5

Total parts = 10

B = ₹360

Shortcut 4

₹5000, 10%, 4 years SI

SI = ₹2000

Shortcut 5

₹5000, 10%, 2 years CI

CI = ₹1050

Shortcut 6

2-year CI − SI

P(R/100)²

Shortcut 7

A = 12 days, B = 18 days

Together = 7.2 days

Shortcut 8

10 persons × 15 days

6 days → 25 persons

Shortcut 9

6 persons × 12 days

8 days → 9 persons

Shortcut 10

6-hour pipe + 4-hour pipe

Together = 2.4 hours

37. One-Line Revision

Ratio → இரண்டு அளவுகளின் ஒப்பீடு

Proportion → இரண்டு விகிதங்களின் சமத்துவம்

Fourth Proportional → d = bc/a

Mean Proportion → √ac

Ratio Distribution → Total × Ratio / Total Ratio

SI → PRT/100

Amount → P + SI

CI → A − P

Compound Amount → P(1+R/100)ⁿ

Half-Yearly → Rate ÷ 2, Period × 2

2-Year CI-SI → P(R/100)²

N days → 1/N work per day

Two persons together → ab/(a+b)

Work → Efficiency × Time

Same Work → Persons × Days = Constant

Inlet → Positive work

Outlet → Negative work

Net Pipe Rate → Inlet − Outlet

38. Final Concept Map

RATIO & PROPORTION

Ratio

↓

a : b

↓

Proportion

↓

a : b = c : d

↓

Fourth Proportional

↓

Mean Proportion

↓

Ratio Distribution

SIMPLE INTEREST

Principal (P)

Rate (R)

Time (T)

↓

SI = PRT/100

↓

Amount = P + SI

COMPOUND INTEREST

Principal

↓

Interest added to Amount

↓

Next period interest

↓

A = P(1+R/100)ⁿ

↓

CI = A − P

TIME & WORK

Total Work

↓

One Day Work = 1/N

↓

Individual Efficiencies

↓

Add Efficiencies

↓

Combined Work

↓

Time Required

PIPES & CISTERNS

Inlet

↓

+ Rate

Outlet

↓

− Rate

↓

Net Rate

↓

Time to Fill / Empty

🔑 FINAL 20-POINT REVISION

1. Ratio → a:b
2. Proportion → a:b = c:d
3. Fourth Proportional → d = bc/a
4. Mean Proportion → √ac
5. Ratio Distribution → Total × Individual Ratio / Total Ratio
6. SI = PRT/100
7. Amount = P + SI
8. SI → Linear growth
9. CI → Exponential growth
10. A = P(1+R/100)ⁿ
11. CI = A − P
12. Half-yearly → R/2 and 2n
13. 2-year CI−SI = P(R/100)²
14. N days → 1/N work per day
15. Two persons → ab/(a+b)
16. Work = Efficiency × Time
17. Persons × Days = Constant
18. Inlet pipe → Positive
19. Outlet pipe → Negative
20. Net pipe work = Inlet rate − Outlet rate