சுருக்குதல், சதவீதம், HCF/LCM

STUDY NOTES · APTITUDE & MENTAL ABILITY · UNIT I

சுருக்குதல், சதவீதம், HCF & LCM

Simplification, Percentage, Highest Common Factor & Lowest Common Multiple — Detailed Notes

TNPSC குரூப் 2 & 2A (CCSE-II) Prelims — Aptitude Unit I

TNPSC அளவிலான எண்கணிதப் பாடத்திட்டத்தின் அடிப்படையிலான குறிப்புகள்

1. சுருக்குதல்

Simplification

ஒரு கணித வெளிப்பாட்டில் பல்வேறு கணிதச் செயல்பாடுகள் இடம்பெறும்போது, அவற்றை சரியான வரிசையில் செய்து விடையை கண்டுபிடிப்பதே Simplification ஆகும்.

2. BODMAS விதி

கணித வெளிப்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது BODMAS வரிசையைப் பின்பற்ற வேண்டும்.

முக்கிய விதி

B → O → D → M → A → S

D மற்றும் M ஒரே நிலை; இடமிருந்து வலமாகச் செய்ய வேண்டும்.
அதேபோல் A மற்றும் S ஒரே நிலை; இடமிருந்து வலமாகச் செய்ய வேண்டும்.

3. BODMAS — உதாரணம்

கேள்வி:

12 + 8 ÷ 4 × 2 − 3 = ?

படி 1 — Division & Multiplication

8 ÷ 4 = 2

பின்னர்:

2 × 2 = 4

படி 2 — Addition & Subtraction

12 + 4 − 3 = 13

விடை:

13

4. பின்னங்களின் சுருக்கம்

Simplification of Fractions

பின்னங்களை கூட்டுதல் அல்லது கழித்தல் செய்யும்போது:

படி 1

பின்னங்களின் பொதுப் பகுதி / LCM கண்டறிய வேண்டும்.

படி 2

பின்னங்களை ஒரே denominator-க்கு மாற்ற வேண்டும்.

படி 3

மேல் எண்ணுகளை கூட்டவோ கழிக்கவோ வேண்டும்.

படி 4

கிடைக்கும் பின்னத்தை எளிய வடிவத்திற்கு மாற்ற வேண்டும்.

5. தசம எண்களை பின்னமாக மாற்றுதல்

சில முக்கியமான Decimal → Fraction மாற்றங்கள்:

தேர்வுக் குறிப்பு

0.25 = 25/100 = 1/4

0.5 = 50/100 = 1/2

0.75 = 75/100 = 3/4

6. சதவீதம்

Percentage

ஒரு முழுத் தொகையில் ஒரு பகுதி எவ்வளவு என்பதை 100-ல் வெளிப்படுத்துவது சதவீதம்.

முக்கிய சூத்திரம்

சதவீதம்

சதவீதம் = (பகுதி / முழு) × 100

ஒரு எண்ணின் x%

x% of y = (x × y) / 100

சதவீத அதிகரிப்பு

அதிகரிப்பு % = [(புதிய மதிப்பு − பழைய மதிப்பு) / பழைய மதிப்பு] × 100

சதவீதக் குறைவு

குறைவு % = [(பழைய மதிப்பு − புதிய மதிப்பு) / பழைய மதிப்பு] × 100

7. முக்கிய Fraction → Percentage அட்டவணை

8. Percentage — உதாரணம் 1

கேள்வி:

ஒரு எண்ணின் 40% = 80 எனில், அந்த எண் என்ன?

தீர்வு:

எண் × 40/100 = 80

எனவே,

எண் = 80 × 100 / 40

எண் = 200

விடை:

200

9. Percentage Increase — உதாரணம் 2

கேள்வி:

ஒரு பொருளின் விலை ரூ.500-லிருந்து ரூ.600 ஆக அதிகரித்தால், சதவீத அதிகரிப்பு என்ன?

தீர்வு:

அதிகரிப்பு = 600 − 500 = 100

அதிகரிப்பு % = (100 / 500) × 100

= 20%

விடை:

20%

10. தொடர்ச்சியான சதவீத மாற்றங்கள்

ஒரு எண்ணில் தொடர்ந்து இரண்டு முறை:

• a%
• b%

மாற்றம் செய்யப்பட்டால், மொத்த சதவீத மாற்றம்:

a + b + (ab/100)%

முக்கிய குறிப்பு

குறைவுக்கு negative value பயன்படுத்த வேண்டும்.

உதாரணமாக:

• அதிகரிப்பு → +
• குறைவு → −

11. HCF & LCM

HCF — Highest Common Factor

மீப்பெரு பொது வகுத்தி

கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எண்களை மீதமின்றி வகுக்கக்கூடிய மிகப்பெரிய எண் HCF ஆகும்.

கண்டுபிடிக்கும் முறைகள்

• பகா காரணி முறை
• நீண்ட வகுத்தல் / Euclid's Method

LCM — Lowest Common Multiple

மீச்சிறு பொது மடங்கு

கொடுக்கப்பட்ட எண்கள் அனைத்தாலும் மீதமின்றி வகுபடும் மிகச் சிறிய எண் LCM ஆகும்.

கண்டுபிடிக்கும் முறைகள்

• பகா காரணி முறை
• பொதுவான காரணிகளைப் பயன்படுத்தும் முறை

12. HCF vs LCM — வேறுபாடு

13. முக்கிய HCF × LCM சூத்திரம்

இரண்டு எண்களுக்கு:

HCF × LCM = முதல் எண் × இரண்டாம் எண்

இதிலிருந்து:

LCM = (எண் 1 × எண் 2) / HCF

நினைவில் கொள்ள:

H × L = Product of two numbers

14. HCF & LCM — உதாரணம்

கேள்வி:

12 மற்றும் 18 ஆகியவற்றின் HCF மற்றும் LCM கண்டுபிடிக்க.

படி 1 — Prime Factorisation

12 = 2² × 3

18 = 2 × 3²

HCF

பொதுவான பகா காரணிகளின் குறைந்த அடுக்குகளை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

HCF = 2 × 3

HCF = 6

LCM

அனைத்து பகா காரணிகளின் அதிகபட்ச அடுக்குகளை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

LCM = 2² × 3²

= 4 × 9

LCM = 36

15. HCF × LCM சரிபார்ப்பு

கிடைத்த மதிப்புகள்:

HCF = 6

LCM = 36

எனவே:

HCF × LCM

= 6 × 36

= 216

மற்றொரு பக்கம்:

12 × 18 = 216

எனவே:

HCF × LCM = 12 × 18 ✓

16. HCF எப்போது பயன்படுத்த வேண்டும்?

ஒரு கேள்வியில்:

“மிகப்பெரிய சம பாகங்களாகப் பிரிக்க”

என்று வந்தால்:

HCF

பயன்படுத்த வேண்டும்.

உதாரண வகைகள்

• வெவ்வேறு அளவுள்ள பொருட்களை சம அளவுள்ள மிகப்பெரிய துண்டுகளாகப் பிரித்தல்
• பொருட்களை சம அளவில் பகிர்தல்
• ஒரே அளவிலான பெரிய குழுக்களை உருவாக்குதல்

17. LCM எப்போது பயன்படுத்த வேண்டும்?

ஒரு கேள்வியில்:

“மீண்டும் ஒரே நேரத்தில்”

அல்லது

“எத்தனை நேரத்திற்குப் பிறகு மீண்டும் சந்திக்கும்?”

என்று வந்தால்:

LCM

பயன்படுத்த வேண்டும்.

முக்கிய பயன்பாடுகள்

1. மணி / Bell Problems

பல மணிகள் வெவ்வேறு நேர இடைவெளியில் ஒலித்தால், அவை மீண்டும் ஒரே நேரத்தில் ஒலிக்கும் நேரத்தை கண்டுபிடிக்க:

LCM

2. ஓட்டப்பந்தய / Track Problems

பல ஓட்டக்காரர்கள் வெவ்வேறு இடைவெளிகளில் ஓடும்போது மீண்டும் ஒரே இடத்தில் சந்திக்கும் நேரத்தை கண்டுபிடிக்க:

LCM

18. HCF பயன்பாடு — Shortcut Concept

கேள்வியில்:

“மிகப்பெரிய சம துண்டுகள்”

“சம அளவாகப் பிரிக்க”

“அதிகபட்ச அளவு”

போன்ற வார்த்தைகள் இருந்தால்:

→ HCF

19. LCM பயன்பாடு — Shortcut Concept

கேள்வியில்:

“மீண்டும் ஒரே நேரத்தில்”

“மீண்டும் சந்திக்க”

“ஒரே நேரத்தில் ஒலிக்க”

“எத்தனை நேரத்திற்குப் பிறகு”

போன்ற வார்த்தைகள் இருந்தால்:

→ LCM

20. Prime Factorisation — முக்கிய விதி

ஒரு எண்ணை அதன் பகா எண்களின் பெருக்கலாக எழுதுவது Prime Factorisation.

உதாரணம்:

12

= 2 × 6

= 2 × 2 × 3

12 = 2² × 3

18

= 2 × 9

= 2 × 3 × 3

18 = 2 × 3²

21. HCF கண்டுபிடிக்கும் Shortcut

Prime factorisation செய்த பிறகு:

பொதுவான காரணிகள் மட்டும்

குறைந்த அடுக்கு

எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

உதாரணம்:

12 = 2² × 3

18 = 2 × 3²

பொதுவான காரணிகள்:

2, 3

குறைந்த அடுக்கு:

2¹ × 3¹

எனவே:

HCF = 6

22. LCM கண்டுபிடிக்கும் Shortcut

Prime factorisation செய்த பிறகு:

அனைத்து காரணிகளும்

அதிகபட்ச அடுக்கு

எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

உதாரணம்:

12 = 2² × 3

18 = 2 × 3²

அதிகபட்ச அடுக்குகள்:

2² × 3²

எனவே:

LCM = 36

23. முக்கிய Formula Sheet

Simplification

B → O → D → M → A → S

Percentage

Percentage = (Part / Whole) × 100

x% of y

x% of y = xy/100

Percentage Increase

Increase % = [(New − Old) / Old] × 100

Percentage Decrease

Decrease % = [(Old − New) / Old] × 100

Successive Percentage Change

Net Change = a + b + ab/100

Decrease → negative value

HCF–LCM

HCF × LCM = Number 1 × Number 2

LCM

LCM = (Number 1 × Number 2) / HCF

24. முக்கிய Fraction → Percentage நினைவுப் பட்டியல்

1/2 = 50%

1/3 ≈ 33.33%

1/4 = 25%

1/5 = 20%

1/6 ≈ 16.67%

1/7 ≈ 14.28%

1/8 = 12.5%

1/9 ≈ 11.11%

1/10 = 10%

1/12 ≈ 8.33%

1/20 = 5%

1/25 = 4%

25. TNPSC தேர்வுக் குறிப்பு

இந்த அலகில் நேரடியாக கணக்கிடும் கேள்விகள் வரக்கூடிய முக்கிய பகுதிகள்:

Simplification

BODMAS வரிசையை சரியாகப் பயன்படுத்துதல்

Percentage

Part / Whole × 100

Percentage Increase / Decrease

புதிய மற்றும் பழைய மதிப்புகளின் வித்தியாசம்

Successive Percentage

a + b + ab/100

HCF

மிகப்பெரிய சமப் பகுதி

LCM

மீண்டும் ஒரே நேரத்தில் நிகழும் நிகழ்வு

26. HCF அல்லது LCM? — மிக முக்கியமான தேர்வு Trick

27. Quick Revision — Topic Wise

Simplification

BODMAS → Brackets → Of/Order → Division → Multiplication → Addition → Subtraction

Percentage

Percentage = Part/Whole × 100

x% of y = xy/100

Increase

(New − Old)/Old × 100

Decrease

(Old − New)/Old × 100

Successive Change

a + b + ab/100

HCF

மிகப்பெரிய பொதுவான வகுத்தி

Common factors + Lowest powers

LCM

மிகச்சிறிய பொதுவான மடங்கு

All factors + Highest powers

28. One-Line Revision

BODMAS → கணிதச் செயல்பாடுகளின் சரியான வரிசை

B → Brackets

O → Of / Order / Powers

D → Division

M → Multiplication

A → Addition

S → Subtraction

Percentage → Part / Whole × 100

40% of a number = 80 → Number = 200

₹500 → ₹600 → 20% increase

1/2 → 50%

1/4 → 25%

1/5 → 20%

1/8 → 12.5%

1/10 → 10%

1/20 → 5%

HCF → மிகப்பெரிய பொதுவான வகுத்தி

LCM → மிகச்சிறிய பொதுவான மடங்கு

HCF → சமமாகப் பிரித்தல்

LCM → மீண்டும் ஒரே நேரத்தில் நிகழ்தல்

HCF × LCM = இரண்டு எண்களின் பெருக்கல்

12, 18 → HCF = 6

12, 18 → LCM = 36

29. Final Concept Map

SIMPLIFICATION

Expression

↓

BODMAS

↓

Brackets

↓

Of / Powers

↓

Division / Multiplication

↓

Addition / Subtraction

↓

Final Answer

PERCENTAGE

Part + Whole

↓

Part / Whole × 100

↓

Percentage

Change Questions

Old Value → New Value

↓

Increase / Decrease

↓

Percentage Change

HCF

Numbers

↓

Prime Factors

↓

Common Factors

↓

Lowest Powers

↓

HCF

↓

Largest Equal Parts

LCM

Numbers

↓

Prime Factors

↓

All Factors

↓

Highest Powers

↓

LCM

↓

Repeat / Meet Together

🔑 FINAL 15-POINT REVISION

1. BODMAS → Simplification-ன் அடிப்படை விதி
2. B → Brackets
3. O → Of / Order / Powers
4. D → Division
5. M → Multiplication
6. A → Addition
7. S → Subtraction
8. Percentage = Part / Whole × 100
9. x% of y = xy/100
10. Increase % = (New − Old)/Old × 100
11. Decrease % = (Old − New)/Old × 100
12. Successive Change = a + b + ab/100
13. HCF → மிகப்பெரிய பொதுவான வகுத்தி
14. LCM → மிகச்சிறிய பொதுவான மடங்கு
15. HCF × LCM = முதல் எண் × இரண்டாம் எண்